Matemáticas
La proporcionalidad es
una relación o razón constante entre diferentes magnitudes que
se vayan a medir. Si una aumenta o disminuye la otra solo aumenta no disminuye.
SÍMBOLO
El símbolo matemático '∝' se utiliza
para indicar que dos valores son proporcionales. Por ejemplo: A ∝ B.
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dadas dos variables X e Y, Y es (directamente)
proporcional a X (X e Y varían
directamente, o X e Y están en variación
directa) si hay una constante distinta de cero tal que:
La relación a
menudo se denota y la razón constante
es llamada constante
de proporcionalidad.
Para ilustrar,
supongamos que si dividimos el peso de una muestra de hierro por su volumen, el
resultado será el mismo que el obtenido al dividir el peso de cualquier otra
muestra por su volumen, dicho cociente corresponde a la constante de
proporcionalidad.
Primer
ejemplo
La receta de un pastel de
vainilla indica que para cuatro personas se necesitan
200 g de harina, 150 g de mantequilla, cuatro huevos y
120 g de azúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según
varios estudios, la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una
persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multiplicaría por el número real
de personas, cinco, otras solo le sumarían lo que a una persona le corresponde.
Una minoría no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es
decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25 (lo
que equivale a añadir cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 g de
mantequilla y 150 g de azúcar).
Se dice que
la cantidad de cada ingrediente es proporcional al
número de personas y se representa esta situación mediante una tabla de proporcionalidad:
coeficiente k no nulo ( en el ejemplo) tal que
s: a : b = c : d = e : f
Y se puede expresar
como una proporción múltiple: a : c : e = b : d : f
En la proporción
hay cuatro términos; a y d se llaman extremos; c y b se
llaman medios.
En toda
proporción el producto de los extremos es igual al producto de los
medios.
Para establecer que
una tabla es proporcional, se puede:
1.
verificar que la segunda columna es múltiple de la primera, (primera
tabla: para pasar de la primera casilla a la segunda, hay que multiplicar por;
en la segunda línea se tiene que multiplicar por , luego estas fracciones
deben ser iguales para obtener columnas proporcionales)
2.
verificar que la segunda línea es múltiple de la primera (segunda tabla,
con un raciocinio parecido)
3.
verificar la igualdad de los productos cruzados: a·d = b·c.
(tercera tabla: las igualdades anteriores equivalen a a·d = b·c, cuando no hay
valores nulos, que por cierto no tienen un gran interés en este contexto). ya
que no se puede comprobar el número
La relación «Ser
proporcional a» es
·
reflexiva (
toda variable es proporcional a sí misma, con el coeficiente 1)
·
simétrica (cuando y es
proporcional a x entonces x lo es a y,
con el coeficiente inverso) y
·
transitiva (si x es
proporcional a y, e y a z,
entonces x lo es con z, multiplicando los
coeficientes)
por lo que se trata de
una relación de equivalencia. En particular dos variables proporcionales a
una tercera serán proporcionales entre sí).
La tabla del primer
ejemplo se puede descomponer en tres de formato dos por dos:
por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilustran
preferentemente con tablas de cuatro casillas.
Segundo ejemplo
Dos albañiles construyeron una pared
para una casa de doce metros cuadrados
de superficie en tres horas; ¿Qué superficie construirán cinco albañiles
en cuatro horas ?
Hay dos parámetros que influyen en la superficie construida: El
número de albañiles y el tiempo de trabajo. No hay que resistir a la
tentación de aplicar dos veces la
proporcionalidad,
pero eso sí, explicitando las hipótesis subyacentes.
Afirmar que el trabajo realizado es proporcional al
número de albañiles equivale a
decir que todos los obreros tienen la misma
eficacia al trabajo (son intercambiables); y afirmar que
la superficie es proporcional al tiempo de trabajo supone
que el rendimiento no cambia con el tiempo: los albañiles no se cansan.
Admitiendo estas dos hipótesis, se
puede contestar a la pregunta pasando por una etapa intermedia:
¿Qué superficie construirían dos albañiles en cuatro horas?
El parámetro "número
de albañiles" tiene un valor fijo, luego se aplica la proporcionalidad con
el tiempo (subtabla roja). La superficie construida será multiplicada por. Luego,
fijando el parámetro tiempo a cuatro horas, y variando él del número de obreros
de 2 a 5, la superficie será multiplicada por (la subtabla
azul es proporcional).
La proporcionalidad múltiple se
resuelve así, multiplicando por los coeficientes correspondientes a cada
factor.
Aplicación
en geometría
El concepto de proporcionalidad es equivalente al de semejanza cuando se
comparan dos triángulos semejantes. De hecho, las propiedades de la proporcionalidad (reflexividad,
simetría y transitividad) son las mismas que las de la semejanza.
Propiedades
Ya que es equivalente a se sigue que, si y es
proporcional a x, con constante de proporcionalidad k distinta de
cero, entonces x es también proporcional a y con
constante de proporcionalidad 1/k.
Si y es proporcional a x, entonces el
gráfico de y como función de x será una línea recta que pasa por
el origen con la pendiente de la línea igual a la constante
de proporcionalidad: corresponde a un crecimiento lineal.
Proporcionalidad inversa
El concepto de proporcionalidad inversa puede ser contrastado contra la proporcionalidad directa. Considere dos variables que se dice son "inversamente proporcionales" entre sí. Si todas las otras variables se mantienen constantes, la magnitud o el valor absoluto de una variable de proporcionalidad inversa disminuirá proporcionalmente si la otra variable aumenta, mientras que su producto se mantendrá (la constante de proporcionalidad k) siempre igual.
La constante, o factor de proporcionalidad, puede ser encontrada multiplicando la variable "x" original y la variable "y" original.
Mejor definido en palabras sencillas es cuando una cantidad o variable sube proporcionalmente la otra variable baja o viceversa.
Como ejemplo, el tiempo consumido en una travesía es inversamente proporcional a la velocidad del viaje; el tiempo necesitado para cavar un hoyo es (aproximadamente) inversamente proporcional al número de personas cavando.
El gráfico de dos variables variando inversamente en un plano de coordenadas cartesianas es una hipérbola. El producto de los valores X e Y de cada punto de esa curva igualarán la constante de proporcionalidad (k). Ya que ni x ni y pueden ser igual a cero (si k es distinta de), la curva nunca cruzará ningún eje.
Del mismo modo, una variable y es logarítmicamente proporcional a una variable x, si y es directamente proporcional al logaritmo de x, esto es si existen las constantes k y a distintas de cero.
Determinación experimental
Para determinar experimentalmente si dos cantidades físicas son directamente proporcionales, uno realiza diversas mediciones y plotea los puntos resultantes de la data en un sistema de coordenadas cartesianas. Si los puntos caen en o cerca de una línea recta que pasa por el origen (0, 0), entonces las dos variables son probablemente proporcionales, con la constante de proporcionalidad dada por la pendiente de la línea.
La proporcionalidad
es una relación de equivalencia en un
conjunto (o incluso ). Esto es
porque es: reflexiva, simétrica y transitiva. Esto se prueba a continuación
usando la definición: si a∝b entonces
Proporcionalidad inversa
El concepto de proporcionalidad inversa puede ser contrastado contra la proporcionalidad directa. Considere dos variables que se dice son "inversamente proporcionales" entre sí. Si todas las otras variables se mantienen constantes, la magnitud o el valor absoluto de una variable de proporcionalidad inversa disminuirá proporcionalmente si la otra variable aumenta, mientras que su producto se mantendrá (la constante de proporcionalidad k) siempre igual.
Formalmente, dos
variables son inversamente proporcionales (o están en variación
inversa, o en proporción inversa o en proporción
recíproca) si una de las variables es directamente proporcional con
la multiplicativa inversa (recíproca)
de la otra, o equivalentemente, si sus productos son constantes. Se sigue que la
variable y es inversamente proporcional a la variable x si
existe una constante k distinta de cero tal que
La constante, o factor de proporcionalidad, puede ser encontrada multiplicando la variable "x" original y la variable "y" original.
Mejor definido en palabras sencillas es cuando una cantidad o variable sube proporcionalmente la otra variable baja o viceversa.
Como ejemplo, el tiempo consumido en una travesía es inversamente proporcional a la velocidad del viaje; el tiempo necesitado para cavar un hoyo es (aproximadamente) inversamente proporcional al número de personas cavando.
El gráfico de dos variables variando inversamente en un plano de coordenadas cartesianas es una hipérbola. El producto de los valores X e Y de cada punto de esa curva igualarán la constante de proporcionalidad (k). Ya que ni x ni y pueden ser igual a cero (si k es distinta de), la curva nunca cruzará ningún eje.
Coordenadas
hiperbólicas
Los conceptos de proporción directa e inversa conllevan a la ubicación y puntos en el plano cartesiano por coordenadas hiperbólicas; las dos coordenadas corresponden a la constante de proporcionalidad directa que ubica un punto en un rayo y la constante de proporcionalidad inversa que posiciona un punto en una hipérbola
Proporcionalidad exponencial y logarítmica
Una variable y es proporcionalmente exponencial a una variable x, si y es directamente proporcional a la función exponencial de x, esto es si existen constantes k y a diferentes de cero.
Los conceptos de proporción directa e inversa conllevan a la ubicación y puntos en el plano cartesiano por coordenadas hiperbólicas; las dos coordenadas corresponden a la constante de proporcionalidad directa que ubica un punto en un rayo y la constante de proporcionalidad inversa que posiciona un punto en una hipérbola
Proporcionalidad exponencial y logarítmica
Una variable y es proporcionalmente exponencial a una variable x, si y es directamente proporcional a la función exponencial de x, esto es si existen constantes k y a diferentes de cero.
Del mismo modo, una variable y es logarítmicamente proporcional a una variable x, si y es directamente proporcional al logaritmo de x, esto es si existen las constantes k y a distintas de cero.
Determinación experimental
Para determinar experimentalmente si dos cantidades físicas son directamente proporcionales, uno realiza diversas mediciones y plotea los puntos resultantes de la data en un sistema de coordenadas cartesianas. Si los puntos caen en o cerca de una línea recta que pasa por el origen (0, 0), entonces las dos variables son probablemente proporcionales, con la constante de proporcionalidad dada por la pendiente de la línea.
Relación de equivalencia[
, donde k
es una constante diferente de cero.
Reflexividad
Para todo, Por lo tanto, como uno es una constante diferente de cero,
Simetría
Supóngase que y a∝b, entonces, en donde k es una constante
diferente de cero. Dividiendo por k, tenemos: Como
k es diferente de cero, 1/k es también diferente de cero. De modo que:
Transitividad
Supóngase que , a∝b y b∝c. Entonces, y, en donde k y n
son constantes distintas de cero. Substituyendo la segunda ecuación en la
primera, tenemos:
Como k y n son diferentes a cero, kn debe ser también diferente de cero.
Por lo tanto:
